Engelska

Vid tillräcklig efterfrågan

Systemteori använder ofta linjära modeller för att beskriva och optimera dynamiska processer. Kursens huvudsakliga syfte är att introducera linjära system som abstrakta linjära operatorer och ge kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom funktionalanalys som används för att studera och lösa optimeringsproblem för sådana operatorer i normerade vektorrum. Kursen utvecklar även en förmåga till matematisk abstraktion som gör det lättare att se likheter mellan olika problem, och är lämpligt för diverse tillämpningar, såsom reglerteknik, signalbehandling m.m.

Normerade vektorrum, Banach/Hilbert rum. Linjära operatorer, adjunkt och invers operator. Linjära system som operator, adjunkt system, stabilitet. Kvadratiska optimeringsproblem för linjära system. Kausala och tidsinvarianta system, Hankel/Toeplitz operatorer, överföringsfunktion.

Topologiska vektorrum, linjära funktionaler, duala rum. Svaga topologier. Optimering i Banach/Hilbert rum. Min-max satsen och dualitet. Minsta norm satser. Nehari problem och andra extremala problem i Hardy rum. Hahn-Banach sats och separering av konvexa mängder. Konvex analys i normerade vektorrum.

känna till och visa förståelse för de grundläggande begrepp inom teori för normerade vektorrum och linjära operatorer
ha förståelse för sambandet mellan linjära system och operatorer, speciellt hur olika egenskaper hos linjära system omfomuleras till operatorer och vice versa.
ha kunskap om typiska vektorrum som är mest populära i tillämpnihgar och dess duala rum
ha förståelse för min-max dualitetsprincipen och de grundläggande förutsättningarna för den.
kunna redogöra för grunderna av teorin i samband med ett muntligt förhör.

kunna visa förmåga att omskriva ett linjärt system till operator och tvärtom
kunna visa förmåga att beräkna adjunkt och invers till linjära system
kunna omformulera konkreta problemställningar till kursens abstrakta optimeringsproblem, ställa upp det duala problemet och utnyttja optimalitetsprincipen för att bestämma lösningar
kunna visa förmåga att använda begreppen i samband med problemlösning inom kursens ram

Föreläsningar

övningar

Skriftlig tentamen

Muntlig tentamen

Inlämningsuppgifter

Veckovisa inlämningsuppgifter alternativt ta-hem tenta
Studenter förväntas även ta en aktiv roll i de veckovisa övningstillfällen

Underkänd, godkänd

Linjär algebra, flerdimensionell analys, funktionsteori, system och transformer

 

Kurslitteraturen är en sammanställnig från flera böcker i funktionalanalys och optimering (utdelas) samt föreläsningsanteckningar

FMA003F

 -06-09

FN1/Anders Gustafsson