Funktionalanalys i systemteori
Functional Analysis in System Theory

FMA003F, 9 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2013
Beslutad av: FN1/Anders Gustafsson
Datum för fastställande: 2014-06-09

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Ren forskarutbildningskurs
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Systemteori använder ofta linjära modeller för att beskriva och optimera dynamiska processer. Kursens huvudsakliga syfte är att introducera linjära system som abstrakta linjära operatorer och ge kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom funktionalanalys som används för att studera och lösa optimeringsproblem för sådana operatorer i normerade vektorrum. Kursen utvecklar även en förmåga till matematisk abstraktion som gör det lättare att se likheter mellan olika problem, och är lämpligt för diverse tillämpningar, såsom reglerteknik, signalbehandling m.m.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• känna till och visa förståelse för de grundläggande begrepp inom teori för normerade vektorrum och linjära operatorer
• ha förståelse för sambandet mellan linjära system och operatorer, speciellt hur olika egenskaper hos linjära system omfomuleras till operatorer och vice versa.
• ha kunskap om typiska vektorrum som är mest populära i tillämpnihgar och dess duala rum
• ha förståelse för min-max dualitetsprincipen och de grundläggande förutsättningarna för den.
• kunna redogöra för grunderna av teorin i samband med ett muntligt förhör.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna visa förmåga att omskriva ett linjärt system till operator och tvärtom
• kunna visa förmåga att beräkna adjunkt och invers till linjära system
• kunna omformulera konkreta problemställningar till kursens abstrakta optimeringsproblem, ställa upp det duala problemet och utnyttja optimalitetsprincipen för att bestämma lösningar
• kunna visa förmåga att använda begreppen i samband med problemlösning inom kursens ram

Kursinnehåll

Normerade vektorrum, Banach/Hilbert rum. Linjära operatorer, adjunkt och invers operator. Linjära system som operator, adjunkt system, stabilitet. Kvadratiska optimeringsproblem för linjära system. Kausala och tidsinvarianta system, Hankel/Toeplitz operatorer, överföringsfunktion. Topologiska vektorrum, linjära funktionaler, duala rum. Svaga topologier. Optimering i Banach/Hilbert rum. Min-max satsen och dualitet. Minsta norm satser. Nehari problem och andra extremala problem i Hardy rum. Hahn-Banach sats och separering av konvexa mängder. Konvex analys i normerade vektorrum.

Kurslitteratur

Kurslitteraturen är en sammanställnig från flera böcker i funktionalanalys och optimering (utdelas) samt föreläsningsanteckningar

Kursens undervisningsformer

Undervisningsformer: Föreläsningar, övningar

Kursens examination

Examinationsformer: Skriftlig tentamen, muntlig tentamen, inlämningsuppgifter. Veckovisa inlämningsuppgifter alternativt ta-hem tenta Studenter förväntas även ta en aktiv roll i de veckovisa övningstillfällen
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förutsatta förkunskaper: Linjär algebra, flerdimensionell analys, funktionsteori, system och transformer

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvarig: Andrey Ghulchak <andrey.ghulchak@math.lth.se>