Global analys
Global Analysis

FMA290F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2025
Beslutad av: Maria Sandsten
Datum för fastställande: 2025-06-16

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Ren forskarutbildningskurs
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Global analys utgör en grundläggande teoretisk bas för avancerade studier inom differentialgeometri, partiella differentialekvationer och teoretisk fysik. Teorin om mångfalder och differentialformer erbjuder ett koordinatfritt ramverk för att formulera och analysera geometriska och analytiska problem på krökta rum. Kursen introducerar centrala begrepp såsom tangent- och vektorbuntar, differentialformer, yttre derivator, integration på mångfalder och Stokes sats, vilket möjliggör formuleringen av globala egenskaper hos lösningar till differentialekvationer och fältteorier. Ett viktigt verktyg i detta sammanhang är de kraftfulla teknikerna kring pseudodifferentialoperatorer, som möjliggör en djupare förståelse för geometriska analys på mångfalder. Dessa verktyg är oumbärliga i moderna tillämpningar och av stor betydelse för studenter som vill specialisera sig inom ren eller tillämpad matematik med en geometrisk inriktning.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna presentera en sammanhängande bild av grunderna i geometrisk analys på mångfalder och vektorbuntar genom pseudodifferentialkalkyl, begreppet ellipticitet och parametrixer till elliptiska operatorer.
• kunna motivera funktionalanalytiska och spektrala egenskaper hos elliptiska operatorer som operatorer på Sobolevrum samt deras koppling till kohomologi via de Rhams sats.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• Kunna räkna med formformalismen och använda yttre derivatan samt Stokes’ sats.
• kunna utföra symboliska beräkningar med pseudodifferentialoperatorer som uppstår inom geometri.
• kunna avgöra ellipticitet hos geometriska differentialoperatorer.

Kursinnehåll

I kursen kommer vi att studera mångfalders geometri med hjälp av geometriska differentialoperatorer därpå och deras analytiska egenskaper. Kursen fokuserar på att nå globala resultat med utgångspunkt i en lokala egenskaper. Den introducerar centrala geometriska begrepp såsom tangent- och vektorbuntar, differentialformer,yttre derivator, integration på mångfalder samt Stokes sats. Kursen introducerar även maskineriet kring pseudodifferentialoperatorer som ett verktyg för att studera de elliptiska differentialoperatorer som uppstår på mångfalder. Bland höjdpunkterna finns de Rhams sats, som relaterar den yttre derivatan till kohomologi.

Kurslitteratur

• Hörmander, L.: Advanced differential calculus.
• Shubin, M.: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Springer, 2001. ISBN 9783540411956.
• Taira, K.: Brownian motion and index formulas for the de Rham complex. Wiley, 1998. ISBN 3527401393.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsform: Föreläsningar

Kursens examination

Examinationsformer: Muntlig tentamen, inlämningsuppgifter
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förutsatta förkunskaper: Inledande kurs om partiella differentialekvationer , t ex. FMAN55 Kontinuerliga system. Fourieranalys, grundläggande funktionalanalys, distributionsteori och differentialgeometri.

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga: