Potentialteori i det komplexa planet
Potential Theory in the Complex Plane

FMA305F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2018
Beslutad av: Professor Thomas Johansson
Datum för fastställande: 2018-11-15

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Ren forskarutbildningskurs
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Att ge en doktorand i t ex komplex analys, harmonisk analys och partiella differentialekvationer goda kunskaper om ett antal grundläggande begrepp och verktyg i modern analys.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna ange de viktigaste egenskaperna hos harmoniska funktioner av två variabler.
• kunna redogöra för grunderna för teorin för subharmoniska funktioner.
• kunna förklara följande begrepp inom teorin för potentialer: potential, polär mängd, jämviktsmått, uppåt halvkontinuerlig regularisering, svag form av Poissons ekvation.
• kunna redogöra för följande begrepp från teorin för Dirichlets problem i planet: Perronfunktion, barriär, reguljär randpunkt, harmoniskt mått, Greenfunktion, Poisson-Jensens formel.
• kunna ge definitionen av kapaciteten av en mängd, kunna beräkna den i enkla fall och uppskatta den i allmännare fall.
• kunna beskriva tillämpningar av potentialteori inom andra mathematiska områden, t ex funktionalanalys, approximationsteori, komplex analys eller komplex dynamik.

Kursinnehåll

Harmoniska funktioner i två variabler: Samband med holomorfa funktioner, Dirichlets problem i enhetscirkelskivan, positiva harmoniska funktioner. Subharmoniska funktioner: Uppåt halvkontinuerliga funktioner, subharmoniska funktioner, maximumprincipen, kriterier för subharmonicitet, integrabilitet, konvexitet, regularisering. Potentialteori: Potentialer, polära mängder, jämviktsmått, uppåt halvkontinuerlig regularisering, minus-oändlighet-mängder, hävbara singulariteter, den generaliserade Laplace-operatorn, tunnhet. Dirichlets problem: Lösning av Dirichlets problem, kriterier för regularitet, harmoniska mått, Greenfunktioner, Poisson-Jensens formel. Kapacitet: Kapaciteten av en mängd i planet, kapacitetsberäkningar, kapacitetsuppskattningar, tunnhetskriterier, transfinita diametrar.

Kurslitteratur

Ransford, T.: Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge University Press, 1995. ISBN 9780521466547.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsform: Föreläsningar

Kursens examination

Examinationsform: Seminarieföredrag av deltagarna
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förutsatta förkunskaper: Funktionsteori (eller Analytiska funktioner) och integrationsteori.

Övrig information

Kontaktpersoner: Jacob Stordal Christiansen (jacob_stordal.christiansen-at-math.lth.se) och Frank Wikström (frank.wikstrom-at-math.lth.se) .

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga: