Engelska

Vid tillräcklig efterfrågan

Överallt inom matematk och fysik dyker lineära elliptiska partiella differentialekvationer upp. En naturlig klass av operatorer i detta sammanhang är klassen av pseudodifferentialoperatorer, som med facit i hand kan beskrivas i termer av klassen av operatorer på formen A=f(D) for rimliga funktioner f och någon elliptisk partiell differentialoperator D. Speciellt innehåller klassen av pseudodifferentialoperatorer operatorer såsom parametriser (en slags approximativa lösningsoperatorer ) och lösningsoperatorer för elliptiska partiella differentialekvationer.

Syftet med kursen är att introducera pseudodifferentialkalkylen i detalj, med denna kan man ibland reducera djupa frågor inom partiella differentialekvationer till räkningar svarande mot nybörjarkurserna i analys -- och att studera teorins konsekvenser inom global analys av elliptiska partiella differentialekvationer.

I kursen kommer vi att studera pseudodifferentialoperatorer med tonvikt på globala resultat. Sedan 1960-talet har pseudodifferentialoperatorer använts för att studera elliptiska differentialoperatorer. Höjdpunkter omfattar Weyls lag som beskriver egenskaperna hos deras spektra och Atiyah-Singers indexsats som gör det möjligt att beräkna deras index.

Efter att ha gått igenom grundläggande metoder av algebraisk och analytisk karaktär, studerar vi deras operatorteoretiska konsekvenser. Vi kommer också att behandla tillämpningar i studiet av randvärdesproblem och Hörmanders bevis av Weyls lag, som beskriver den asymptotiska fördelningen av egenvärden för elliptiska pseudodifferentialoperatorer.

kunna presentera en sammanhängande bild av grunderna för pseudodifferentialkalkylen, begreppet ellipticitet och konstruktionen av såväl lokala som globala parametriser för elliptiska operatorer.

kunna bevisa functionalanalytiska och spektrala egenskaper för elliptiska operatorer som operatorer på Sobolevrum.

kunna förklara de relevanta egenskaperna för en elliptisk operator som gör den till en Fredholmoperator, och hur dess index bestäms av lokala data

kunna lösa elliptiska partiella differentialekvationer modulo glatta fel,.

kunna utföra symboliska beräkningar och funktionalkalkyl med pseudodifferentialoperatorer både i fallet då symbolerna är givna och i fallet då integralkärnorna är givna..

kunna visa visa Fredholmegenskapen för enkla randvärdesproblem.

Föreläsningar

Muntlig tentamen

Inlämningsuppgifter

Underkänd, godkänd

Inledande kurs om partiella differentialekvationer , t ex. FMAN55 Kontinuerliga system. Fourieranalys, grundläggande funktionalanalys, distributionsteori och differentialgeometri.

Shubin, M.A.: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Springer Science & Business Media, 2001. ISBN 9783540411956.
Hörmander, L.: The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer Science & Business Media, 2007. ISBN 9783540499374.

Kapitel I och III i Shubins bok och Kapitel XVIII och XX i Hörmander.

FMA310F

2021-04-15

Professor Thomas Johansson