Introduktion till operatoralgebror
Introduction to Operator Algebras

FMA340F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Vårterminen 2026
Beslutad av: /Jonas Johansson
Datum för fastställande: 2026-01-15

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Ren forskarutbildningskurs
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Teorin om operatoralgebror utgör en grundläggande teoretisk bas för avancerade studier inom funktionalanalys, icke-kommutativ geometri och kvantfysik. Teorin om C*-algebror och von Neumann-algebror erbjuder en kraftfull ram för att analysera operatorer på Hilbertrum och för att generalisera topologi och måttteori för klassiska rum. Kursen introducerar centrala begrepp såsom spektralteori, GNS-konstruktionen och kontinuerlig funktionalkalkyl, vilket möjliggör studiet av abstrakta algebraiska strukturer genom deras konkreta representationer. Dessa verktyg är oumbärliga i modern forskning och av stor betydelse för studenter som vill specialisera sig inom ren matematik – särskilt analys och geometri – eller inom matematisk fysik.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna förklara begreppet spektrum i olika sammanhang och beräkna det i enkla fall.
• kunna visa kunskap om den grundläggande teorin för operatoralgebror, särskilt med avseende på C*-algebror och von Neumann-algebror.
• kunna illustrera centrala begrepp och satser från kursen med konkreta exempel.
• kunna analysera linjära avbildningar på oändligtdimensionella Hilbertrum och pröva intuitiva förmodanden genom att konstruera strikta bevis eller motexempel.
• kunna självständigt undersöka problem, exempel eller tillämpningar relaterade till kursens innehåll med hjälp av relevant litteratur.
• kunna motivera funktionalanalytiska och spektrala egenskaper hos operatorer med hjälp av centrala verktyg såsom kontinuerlig funktionalkalkyl, positiva linjära funktionaler och GNS-konstruktionen.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna beräkna spektra för operatorer och använda teknikerna från den kontinuerliga funktionalkalkylen.
• kunna tillämpa GNS-konstruktionen för att bygga Hilbertrumsrepresentationer utifrån tillstånd och analysera deras egenskaper.
• kunna konstruera många exempel på C*-algebror genom standardoperationer.

Kursinnehåll

Denna kurs ger en rigorös teoretisk grund i teorin för operatoralgebror, med en progression från den allmänna teorin för Banachalgebror till den rika strukturen hos C*-algebror och von Neumann-algebror. Kursen inleds med grunderna i Banachalgebror och Gelfands kraftfulla teori för det kommutativa fallet. Därefter behandlas kärnan i ämnet: strukturen hos C*-algebror, inklusive spektralteorin för speciella element (normala, självadjungerade, positiva) samt den centrala kontinuerliga funktionalkalkylen. En av kursens höjdpunkter är Gelfand–Naimark-satsen, som fastslår att varje C*-algebra är isometriskt isomorf med en algebra av begränsade operatorer på ett Hilbertrum. Denna representationsteori utvecklas vidare genom studiet av tillstånd och den djupgående Gelfand–Naimark–Segal (GNS)-konstruktionen. Kursen avslutas med teorin för von Neumann-algebror, analyserad genom bikommutantsatsen och Kaplanskys täthetssats.

Kurslitteratur

Kurslitteratur Murphy, Gerard J. C*-Algebras and Operator Theory. Academic Press, 1990. Davidson, Kenneth R. C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996. Douglas, Ronald G. Banach Algebra Techniques in Operator Theory. 2nd ed., Springer, 1998. Szabó, Gábor. Lecture Notes on Operator Algebras, 2024.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsform: Föreläsningar

Kursens examination

Examinationsformer: Muntlig tentamen, inlämningsuppgifter
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förutsatta förkunskaper: Måtteori, topologi, funktionalanalys

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga: