Funktionalanalys och harmonisk analys
Functional Analysis and Harmonic Analysis

FMAN80F, 7,5 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2019
Beslutad av: FN1/Anders Gustafsson
Datum för fastställande: 2013-11-15

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Gemensam kurs, avancerad nivå och forskarnivå
Kursen ges även på avancerad nivå med kurskoder: FMAN80, FMA260
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Funktionalanalys och harmonisk analys är fundamentala verktyg för viktiga matematiska tillämpningsområden, som till exempel fältteori, hållfasthetslära, reglerteori, signalbehandling, och inom matematisk statistik och numerisk analys. Kursens syfte är att ge kännedom om grundläggande begrepp och metoder, samt förmåga såväl att följa resonemang där dessa används som att självständigt med dessa metoder lösa matematiska problem uppkomna i tillämpningarna. Ett viktigt mål för kursen är också att utveckla en förmåga till abstraktion som gör det lättare att se analogier mellan problem från till synes skilda problemområden.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• känna till olika vanliga normer och deras användbarhet i olika tillämpningar.
• känna till betydelsen av begreppen fullständighet och kompakthet, och att valet av norm har inverkan på dessa egenskaper hos ett rum. I synnerhet ha god förståelse för skillnaderna mellan det oändligdimensionella och det ändligdimensionella fallet.
• vara förtrogen med de grundläggande egenskaperna för dualen till ett normerat rum.
• vara förtrogen med de vanligaste klasserna av linjära begränsade operatorer samt ha förståelse för hur spektralteorin ger information om en linjär operators egenskaper.
• vara väl förtrogen med hur en funktions egenskaper återspeglas i dess Fouriertransform.
• kunna redogöra för grunderna av teorin i samband med ett muntligt förhör.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• med tillgång till litteratur självständigt kunna integrera metoder och synsätt från olika delar av kursen för att lösa problem och besvara frågeställningar inom kursens ram
• kunna redogöra för lösningen till matematiska problem inom kursens ram i tal och i skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi.
• kunna översätta konkreta matematiska problemställningar till kursens abstrakta begreppsapparat.

Kursinnehåll

Funktionalanalys: normer och approximation, fullständighet, kompakthet, funktionsrum, Hilbertrum, ortogonalitet och ortogonalsystem, linjära operatorer, spektralteori. Dualrum och Hahn-Banach. Harmonisk analys: Fouriertransformationen och Sobolevrum. Obestämdhetsrelationer, samplingssatsen, Fouriertransformer och analytiska funktioner, Hilberttransformationen.

Kurslitteratur

Renardy, M. & Rogers, Robert C.: An Introduction to Partial Differential Equations. Springer, 2004. ISBN 9780387004440.
Egenproducerat material.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsformer: Föreläsningar, övningar

Kursens examination

Examinationsformer: Skriftlig tentamen, muntlig tentamen
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Övrig information

Ersätter FMA260F.

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga:
Hemsida: http://www.maths.lth.se/course/funkharm/