Differentialgeometri
Differential Geometry

FMAP20F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2025
Beslutad av: Maria Sandsten
Datum för fastställande: 2025-01-14

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Gemensam kurs, avancerad nivå och forskarnivå
Kursen ges även på avancerad nivå med kurskoder: FMAP20, MATM33
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Kursens övergripande mål är att ge en introduktion till klassisk differentialgeometri av betydelse för fortsatta studier inom matematikämnet samt inom relevanta delar av fysik och teknik. Syftet är vidare att utveckla doktorandernas förmåga att lösa problem och kommunicera matematiska resonemang.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna redogöra för de begrepp och metoder inom klassisk differentialgeometri som behandlas under kursen,
• kunna identifiera de viktigaste satserna i kursen och redogöra för deras bevis,
• kunna ingående redogöra för teorin bakom de metoder som används i differentialgeometrin inom kursens ram.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna integrera kunskaper från de olika delarna av kursen i samband med problemlösning,
• kunna redogöra för lösningen till ett matematiskt problem inom kursens ram i tal och i skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi,
• kunna inom givna tidsramar planera och med adekvata metoder genomföra uppgifter relevanta för kursen.

Värderingsförmåga och förhållningssätt

För godkänd kurs skall doktoranden kunna argumentera för differentialgeometrins betydelse som verktyg inom andra områden, t.ex. fysiken.

Kursinnehåll

*Geometrin hos kurvor i euklidiska rum, deras krökning och torsion och hur dessa bestämmer kurvorna. *Geometrin hos ytor i euklidiska rum, deras första och andra fundamentalform, Gaussavbildningen, principalkrökningar, Gausskrökning och medelkrökning. *Theorema Egregium samt en djup analys av geodeter och deras uppförande både lokalt och globalt. *Gauss-Bonnets sats: två olika lokala versioner och den berömda globala versionen

Kurslitteratur

• Pressley, A.N.: Elementary Differential Geometry. Springer, 2010. ISBN 9781848828902.
• Gudmundsson, S.: An Introduction to Gaussian Geometry. 2024.
• Carmo, Manfredo P. do: Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition. Courier Dover Publications, 2016. ISBN 9780486806990.
• Woodward, L. & Bolton, J.: A First Course in Differential Geometry: Surfaces in Euclidean Space. Cambridge University Press, 2018. ISBN 9781108441025.

Föreläsningsanteckningarna av Gudmundson kan laddas ned: http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/Gauss.pdf Övriga titlar är rekommenderad bredvidläsning.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsformer: Föreläsningar, seminarier

Kursens examination

Examinationsformer: Skriftlig tentamen, muntlig tentamen, övrigt. Muntlig redovisning av en gruppuppgift under kursens gång.
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav: FMAB22 Lineär algebra och FMAB35 Flerdimensionell analys med vektoranalys.

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga:
Hemsida: https://canvas.education.lu.se/courses/23190