Galoisteori
Galois Theory

FMAP25F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2025
Beslutad av: Maria Sandsten
Datum för fastställande: 2025-01-14

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Gemensam kurs, avancerad nivå och forskarnivå
Kursen ges även på avancerad nivå med kurskoder: FMAP25, MATM41
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Galoisteorin utvecklades ursprungligen av Évariste Galois för att karakterisera de polynomekvationer som kan löses med hjälp av rotutdragningar. Den har senare även använts för att lösa klassiska geometriska problem, t ex för att visa att det är omöjligt att med enbart passare och (ograderad) linjal dela en vinkel i tre lika stora delar. Kursen syftar till att ge en djupare förståelse av kroppsutvidgningar samt en koppling mellan teorin om polynomekvationer och gruppteori.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna utförligt redogöra för de begrepp, satser och metoder som ingår i kursen,
• kunna identifiera de viktigaste satserna i kursen och presentera deras bevis.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna i samband med problemlösning integrera kunskaper från olika delar av kursen,
• kunna självständigt identifiera problem som kan lösas med metoder som ingår i kursen och använda lämpliga lösningsmetoder,
• kunna redogöra för lösningen till ett matematiskt problem inom kursens ram, i tal och skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi.

Värderingsförmåga och förhållningssätt

För godkänd kurs skall doktoranden kunna argumentera för vikten av Galoisteori som verktyg för att lösa problem inom andra områden av matematiken, såsom teorin om polynomekvationer.

Kursinnehåll

Kursen behandlar: Kroppsutvidgningar: splittringskroppar, normala utvidgningar och separabla utvidgningar, kroppsautomorfismer, normala höljen. Galoisgrupper: Galoisutvidgningar, Galoiskorrespondens, Galoisteorins fundamentalsats.Polynomekvationer: lösbarhet med rotutdragningar, olösbara femtegradsekvationer, symmetriska polynom, cyklotomiska utvidgningar.

Kurslitteratur

• Stewart, I.: Galois Theory. ISBN 1584883936.
• Cox, D.A.: Galois Theory. Wiley, 2012. ISBN 9781118072059.
• Rotman, J.: Galois Theory. Springer, 1990. ISBN 0387973052.

Boken av Stewart är lärobok. (Det finns senare upplagor.) De andra böckerna är rekommenderad extraläsning.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsformer: Föreläsningar, seminarier

Kursens examination

Examinationsformer: Skriftlig tentamen, muntlig tentamen
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav: FMAN10 Algebraiska strukturer.

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga:
Hemsida: https://canvas.education.lu.se/courses/23195