Numeriska metoder för partiella differentialekvationer
Numerical Methods for Partial Differential Equations

FMNN45F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Vårterminen 2025
Beslutad av: Maria Sandsten
Datum för fastställande: 2025-01-07

Allmänna uppgifter

Avdelning: Numerisk analys (LTH)
Kurstyp: Gemensam kurs, avancerad nivå och forskarnivå
Kursen ges även på avancerad nivå med kurskoder: FMNN45, NUMN33
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Kursen är en fortsättning på FMNN10 Numeriska metoder för differentialekvationer och syftet med kursen är att fördjupa doktorandens kunskaper om partiella differentialekvationer, med tonvikt på numerisk approximation av lösningar, och att ge träning i att praktiskt lösa relevanta beräkningsproblem i pythonmiljö med verktyg i DUNE (Distributed and Unified Numerics Environment), en modulär numerisk verktygslåda för partiella differentialekvationer.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna redogöra för hur funktionalanalytiska begrepp används för att utveckla och analysera numeriska algoritmer för elliptiska partiella differentialekvationer,
• kunna förklara hur man kan diskretisera differentialekvationer med finita elementmetoden,
• kunna ange och härleda enkla feluppskattningar för elliptiska problem,
• kunna självständigt identifiera en lämplig numerisk metod och lämpliga parametrar med avseende på givna noggrannhets- och effektivitetskrav,
• kunna ge exempel på viktiga tillämpningsområden där de algoritmer som förekommer i kursen är viktiga,
• kunna redogöra för begrepp som presenteras i kursen med adekvat terminologi, skriftligt och muntligt.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna självständigt överföra problem till finita elementform och tillämpa lämpliga lösningsstrategier med hjälp av DUNE-FEM,
• kunna dra relevanta slutsatser utifrån observation och tolkning av beräkningsresultat, samt i fritt rapportformat på vetenskaplig grund kunna demonstrera och redogöra för sina slutsatser,
• kunna självständigt presentera resultat och slutsatser av numeriska experiment utförda med DUNE-FEM, i skriftlig och muntlig form, med referenser och annan dokumentation av utfört arbete till stöd för sina slutsatser.

Värderingsförmåga och förhållningssätt

För godkänd kurs skall doktoranden kunna självständigt utvärdera erhållna numeriska resultat från DUNE-FEM i förhållande till tillgänglig teori.

Kursinnehåll

Teori för elliptiska partiella differentialekvationer (PDE): Välställda problem. Svag teori för lösbarhet. Existens och entydighet. Stabilitet med avseende på data och approximation av lösningar. Regularitet av lösningar Lösning med finita elementmetoden i DUNE-FEM: Introduktion till DUNE-FEM. Diskretisering av randvärdesproblem för PDE i DUNE-FEM med hjälp av finita elementmetoden (FEM). Konstruktion av ändliga element, t.ex. diskretiseringsrutnät, referenselement, avbildningar av frihetsgrader (DOF). Användning av DUNE-FEM:s Unified Form Language (UFL) för beskrivning av svaga formuleringar av partiella differentialekvationer. Parallellisering av Finita Element-metoder med användning av områdesuppdelning, Adaptiva finita elementmetoder.

Kurslitteratur

• Larsson, S. & Thomee, V.: Partial Differential Equations with Numerical Methods. Springer Science & Business Media, 2008. ISBN 9783540887058.
• Renardy, M. & Rogers, Robert C.: An Introduction to Partial Differential Equations. ISBN 9783540979524.
• Brenner, Susanne C. & Scott, L. Ridgway: The Mathematical Theory of Finite Element Methods. ISBN 9783540941934.
• Ciarlet, Philippe G.: The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, 1978. ISBN 9780444850287.
• Thomee, V.: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems. Springer, 2006. ISBN 9783540331216.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsform: Föreläsningar

Kursens examination

Examinationsformer: Skriftlig rapport, övrigt. Ett antal obligatoriska projekt genomförda i mindre grupper ingår i kursen. Närvaro vid alla muntliga grupp-presentationer av projekten är obligatoriskt
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav: FMAB30 Flerdimensionell analys & FMNN10 Numeriska metoder för differentialekvationer.
Förutsatta förkunskaper: FMAN55 Kontinuerliga system.

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga:
Hemsida: https://canvas.education.lu.se/courses/30008