Engelska

Varje hösttermin

Att ge doktoranden en god kännedom om grunderna för funktionalanalys och om några av dess tillämpningar. Sådan kunskap är viktig för forskning inom matematisk analys, och för forskning i en del andra fält av matematisk karaktär såsom reglerteknik.

Kursen behandlar grundläggande egenskaper hos Banach- och Hilbertrum och begränsade lineära operatorer definierade på sådana rum:

• Banachrum, Hahn-Banachs sats, svag konvergens och svag prekompakthet av enhetsklotet.

• Hilbertrum. Exempel inklusive L^2-rum. Ortogonalitet, ortogonalt komplement, slutna underrum, projektionssatsen. Riesz representationsteorem.

• Ortonormala mängder, Pythagoras sats, Bessels olikhet. Fullständiga ortonormala mängder, Parsevals identitet.

• Baires kategorisats och dess konsekvenser för operatorer på Banachrum (likformig begränsning, satsen om den öppna avbildningen, satsen om den inversa avbildningen, satsen om den slutna grafen). Stark konvergens av operatorföljder.

• Begränsade och kompakta lineära operatorer på Banachrum och deras spektra.

• Spektralsatsen för kompakta självadjungerade operatorer på Hilbertrum.

ingående kunna redogöra för de begrepp, satser och metoder inom funktionalanalys som behandlas i kursen

kunna identifiera de viktigaste satserna som behandlas i kursen samt beskriva huvudidéerna och genomföra stegen i deras bevis

ge exempel på icke-triviala situationer där dessa satser är tillämpliga.

kunna integrera kunskap från kursens olika delar i samband med problemlösning

kunna identifiera problem som kan lösas med metoder som ingår i kursen och använda lämpliga lösningsmetoder

kunna förklara lösningen av relaterade matematiska problem i tal och skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi.

kunna identifiera situationer där metoder från funktionalanalys kan tillämpas, till exempel inom andra matematikområden som ordinära och partiella differentialekvationer, funktionsrum och operatorteori.

Föreläsningar

Seminarier

Skriftlig tentamen

Muntlig tentamen

Underkänd, godkänd

Matematik motsvarande Civilingenjörsprogrammet i teknisk matematik samt någon kurs i lebegueintegration - t ex Integrationsteori eller Sannolikhetsteorins matematiska grunder..

Lax, Peter D.: Functional Analysis. John Wiley & Sons, 2002. ISBN 9780471556046.

MATP35F

2020-09-24

Professor Thomas Johansson