Lineär funktionalanalys
Linear Functional Analysis

MATP35F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2020
Beslutad av: Professor Thomas Johansson
Datum för fastställande: 2020-09-24

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Gemensam kurs, avancerad nivå och forskarnivå
Kursen ges även på avancerad nivå med kurskod: MATP35
Undervisningsspråk: Engelska

Syfte

Att ge doktoranden en god kännedom om grunderna för funktionalanalys och om några av dess tillämpningar. Sådan kunskap är viktig för forskning inom matematisk analys, och för forskning i en del andra fält av matematisk karaktär såsom reglerteknik.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• ingående kunna redogöra för de begrepp, satser och metoder inom funktionalanalys som behandlas i kursen
• kunna identifiera de viktigaste satserna som behandlas i kursen samt beskriva huvudidéerna och genomföra stegen i deras bevis
• ge exempel på icke-triviala situationer där dessa satser är tillämpliga.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• kunna integrera kunskap från kursens olika delar i samband med problemlösning
• kunna identifiera problem som kan lösas med metoder som ingår i kursen och använda lämpliga lösningsmetoder
• kunna förklara lösningen av relaterade matematiska problem i tal och skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi.

Värderingsförmåga och förhållningssätt

För godkänd kurs skall doktoranden kunna identifiera situationer där metoder från funktionalanalys kan tillämpas, till exempel inom andra matematikområden som ordinära och partiella differentialekvationer, funktionsrum och operatorteori.

Kursinnehåll

Kursen behandlar grundläggande egenskaper hos Banach- och Hilbertrum och begränsade lineära operatorer definierade på sådana rum: • Banachrum, Hahn-Banachs sats, svag konvergens och svag prekompakthet av enhetsklotet. • Hilbertrum. Exempel inklusive L^2-rum. Ortogonalitet, ortogonalt komplement, slutna underrum, projektionssatsen. Riesz representationsteorem. • Ortonormala mängder, Pythagoras sats, Bessels olikhet. Fullständiga ortonormala mängder, Parsevals identitet. • Baires kategorisats och dess konsekvenser för operatorer på Banachrum (likformig begränsning, satsen om den öppna avbildningen, satsen om den inversa avbildningen, satsen om den slutna grafen). Stark konvergens av operatorföljder. • Begränsade och kompakta lineära operatorer på Banachrum och deras spektra. • Spektralsatsen för kompakta självadjungerade operatorer på Hilbertrum.

Kurslitteratur

Lax, Peter D.: Functional Analysis. John Wiley & Sons, 2002. ISBN 9780471556046.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsformer: Föreläsningar, seminarier

Kursens examination

Examinationsformer: Skriftlig tentamen, muntlig tentamen
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Förutsatta förkunskaper: Matematik motsvarande Civilingenjörsprogrammet i teknisk matematik samt någon kurs i lebegueintegration - t ex Integrationsteori eller Sannolikhetsteorins matematiska grunder..

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga:
Hemsida: http://www.ctr.maths.lu.se/course/MATP35/