Gäller från och med: Vårterminen 2017
Beslutad av: Professor Thomas Johansson
Datum för fastställande: 2017-01-17
Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Ren forskarutbildningskurs
Undervisningsspråk: Engelska
Mängdlära är en fundamental byggsten inom modern matematik. Syftet är att ge en introduktion till mängdläran och dess samband med olika delar av matematiken, och därmed ge deltagarna viktiga kunskaper för vidare studier i matematik.
Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall doktoranden ha goda kunskaper om de grundläggande begreppen och resultaten i mängdläran, samt förstå hur dessas förhåller sig till övriga delar av matematiken.
Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall doktoranden kunna använda de grundläggande verktygen från mängdläran för att ge bevis för vissa utsagor i olika delar av matematiken.
Värderingsförmåga och förhållningssätt
För godkänd kurs skall doktoranden kunna bedöma om och hur ett grundläggande resultat i matematiken beror på mängdläran.
Kursen syftar till att studera några grundläggande verktyg från mängdläran som ofta används i olika delar av matematiken utan att ifrågasättas. Som exempel kan nämnas att definitionen av mångfald, existensen av icke mätbara mängder och många andra begrepp grundar sig på icke-konstruktiva tekniker såsom urvalsaxiomet. Kursen kommer att belysa de matematiska problem och paradoxer vilka uppkommer om man tar dessa verktyg för givna, och visa att dessa tekniker gör det möjligt att ge (förhållandevis korta och enkla) bevis för konkreta satser på ett abstrakt vis. Urvalsaxiomet och ekvivalenta formuleringar; Detljerat innehåll: - Begreppet välordning; - Introduktion till kardinaler och ordinaltal. Den transfinita induktionsprincipen; - Filter och ultrafilter; -Paradoxer (såsom Cantor, Vitali, Banach–Tarski), vilka uppkommer ur "naiv" mängdlära; - Kontinuumshypotesen; - En första inblick i mängdteoretisk topologi. I synnerhet kommer frågan om hur stor Stone–Czech-kompaktifieringen av de naturliga talen är att beröras; - Några gamla och nya mängdteoretiska bevis för resultat i standardanalys, topologi, måtteori eller algebra; - Icke-intuitiva exempel såsom Hydraproblemet, vilket har en mängdteoretisk lösning men inte en konstruktiv;
Varje bok som ger en introduktion till mängdlära kan användas. Till exempel: W. Sierpiński, Cardinal and ordinal numbers, PWN, Warsaw 1958 (tillgänglig som pdf på det så kallade nätet)
Undervisningsform: Föreläsningar
Examinationsformer: Muntlig tentamen, seminarieföredrag av deltagarna
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:
Förkunskapskrav: Ingen särskild kunskap i avancerad matematik är nödvändig.
Förutsatta förkunskaper: Ingen särskild kunskap i avancerad matematik är nödvändig. En grundläggande förståelse för grunderna i allmän topologi kan komma till användning i den senare halvan av kursen.
Kursansvariga: