Kursen syftar till att studera några grundläggande verktyg från
mängdläran som ofta används i olika delar av matematiken utan att ifrågasättas. Som exempel kan nämnas att definitionen av mångfald, existensen av icke mätbara mängder och många andra begrepp grundar sig på icke-konstruktiva tekniker såsom urvalsaxiomet. Kursen kommer att belysa de matematiska problem och paradoxer vilka uppkommer om man tar dessa verktyg för givna, och visa att dessa tekniker gör det möjligt att ge (förhållandevis korta och enkla) bevis för konkreta satser på ett abstrakt vis.
Urvalsaxiomet och ekvivalenta formuleringar;
Detljerat innehåll:
- Begreppet välordning;
- Introduktion till kardinaler och ordinaltal. Den transfinita induktionsprincipen;
- Filter och ultrafilter;
-Paradoxer (såsom Cantor, Vitali, Banach–Tarski), vilka uppkommer ur "naiv" mängdlära;
- Kontinuumshypotesen;
- En första inblick i mängdteoretisk topologi. I synnerhet kommer frågan om hur stor Stone–Czech-kompaktifieringen av de naturliga talen är att beröras;
- Några gamla och nya mängdteoretiska bevis för resultat i standardanalys, topologi, måtteori eller algebra;
- Icke-intuitiva exempel såsom Hydraproblemet, vilket har en mängdteoretisk lösning men inte en konstruktiv;