Engelska

Varje vårtermin

Kursens huvudmål är att ge en presentation av modern integrationsteori baserad på den allmänna måtteorin. Doktoranderna kommer att förvärva ett kraftfullt maskineri tillämpligt på viktiga problem inom analys såväl som inom andra områden i matematik, särskilt sannolikhetsteori, partiella differentialekvationer och spektralteori. Detta inkluderar mått definierade på en sigmaalgebra, konstruktion av mått med hjälp av yttre mått, i synnerhet Lebesgue-måttet på R^d. Dessa begrepp används sedan för att definiera integralen av en mätbarfunktion med avseende på ett visst mått och studera dess egenskaper. Fokus ligger på konvergenssatser, det vill säga omkastning av gränsvärdesövergång och integration, samt upprepad integration (i varje variabel för sig) som ett specialfall av integration över produktrum.

Kursen behandlar definitionen och grundläggande egenskaperna hos mått och integraler i allmänna mätbara rum:
*definition av mått och konstruktion med hjälp av yttre mått.
*Lebesgue-måttet på R^d och Lebesgue-Stieltjes-mått på den reella axeln,
*mätbara funktioner och deras integraler med avseende på ett givet mått.
*Lebesgue-integralen på R^d och jämförelse med Riemann-integralen,
*satser rörande monoton och dominerande konvergens, Fatous lemma,
*punktvis konvergens nästan överallt, konvergens i mått och medelvärde. L^p-rum,Hölders och Minkowskis olikheter,
*produktmått, Fubinis och Tonellis satser.

kunna ge en detaljerad redogörelse för de begrepp, teorier och metoder inomintegrationsteori som behandlas i kursen,

kunna identifiera kursens huvudsatser, beskriva huvudidéerna och utföra stegen i deras bevis,

kunna ge exempel på icke-triviala situationer där dessa satser gäller,

kunna ge en detaljerad redogörelse för förhållandet mellan Riemann och Lebesgueintegralen för en funktion definierad på ett kompakt intervall.

kunna integrera kunskap från kursens olika delar i samband med problemlösning,

kunna identifiera problem som kan lösas med metoder som ingår i kursen och lösa dessa med lämpliga lösningsmetoder,

kunna förklara lösningen på relaterade matematiska problem, i tal och skrift, logiskt koherent och med adekvat terminologi.

kunna identifiera situationer där metoderna för integrationsteori är tillämpliga, till exempel inom andra områden som sannolikhetsteori, partiella differentialekvationer, funktionsrum.

Föreläsningar

Seminarier

Skriftlig tentamen

Muntlig tentamen

Underkänd, godkänd

(FMAB30 Flerdimensionell analys eller FMAB35 Flerdimensionell analys med vektoranalys) och (FMAF01 Matematik - Funktionsteori eller FMAA60 Introduktion till reell analys)

Cohn, Donald L.: Measure Theory: Second Edition. Springer Science & Business Media, 2013. ISBN 9781461469568.

FMAP10F

2025-01-10

Maria Sandsten