Kontinuerliga system
Introduction to Partial Differential Equations

FMA022F, 7.5 högskolepoäng

Gäller från och med: Höstterminen 2013
Beslutad av: FN1/Anders Gustafsson
Datum för fastställande: 2014-01-27

Allmänna uppgifter

Avdelning: Matematik (LTH)
Kurstyp: Gemensam kurs, avancerad nivå och forskarnivå
Kursen ges även på avancerad nivå med kurskod: FMA021
Undervisningsspråk: Svenska

Syfte

Med ett kontinuerligt system menas inom ingenjörsvetenskaperna ett system vars tillståndsrum beskrivs av en kontinuerlig familj av parametrar. Kontinuerliga system uppträder ymnigt i fysik och andra naturvetenskaper, inom mekanik-, elektro- och andra teknikvetenskaper, inom ekonomiska vetenskaper etc. Kontinuerliga system leder för sin beskrivning i allmänhet till partiella differentialekvationer. Ett syfte med kursen är att förmedla matematiska verktyg, samt förmåga att använda dessa, för hela kedjan modellbygge - analys - tolkning av lösningar för partiella differentialekvationer som uppkommer för sådana system. Ett annat syfte är det omvända: att genom att visa hur en matematisk begreppsapparat som t ex Hilbertrum används i konkreta tillämpningar lägga grunden för en matematisk generalistkompetens användbar såväl i fortsatta studier som i yrkesverksamhet. Ett syfte är också att doktoranden ska stifta bekantskap med användning och användbarhet av datorhjälpmedel för beräkning och simulering.

Mål

Kunskap och förståelse

För godkänd kurs skall doktoranden

• •kunna visa förmåga att formulera matematiska modeller för fenomen inom värmeledning, diffusion, vågutbredning och elektrostatik.
• •kunna visa förmåga att fysikaliskt tolka matematiska modeller med olika randvillkor för de tre grundtyperna av partiella differentialekvationer: värmeledningsekvationen, vågekvationen och Laplace/Poissons ekvation, samt att förstå karaktären av deras lösningar.
• •kunna visa förmåga att använda spektralmetoder (Fourier) och källfunktionsmetoder (Green) för att lösa problem för de tre grundtyperna av ekvationer i några enkla geometrier.
• •kunna visa förmåga att tolka funktioner som abstrakta vektorer i ett Hilbertrum, och att för funktioner använda begrepp som norm, avstånd och skalärprodukt.
• •kunna visa förmåga att avgöra om en operator är symmetrisk och förmåga att identifiera Sturm-Liouvilleoperatorer.
• •kunna visa förmåga att bestämma egenfunktioner och egenvärden för några typer av Sturm-Liouvilleoperatorer, i synnerhet sådana som är förknippade med Laplaceoperatorn i en, två och tre dimensioner.
• •kunna visa förmåga att beskriva projektionsformeln och använda den för att lösa minsta kvadrat-problem.
• •ha viss erfarenhet och förståelse av användning av matematiska och numeriska datorprogram för att lösa problem med anknytning till kursen.

Färdighet och förmåga

För godkänd kurs skall doktoranden

• •kunna visa förmåga att självständigt välja lämpliga metoder för att lösa de tre grundtyperna av partiella differentialekvationer och att genomföra lösningen av dessa i huvudsak korrekt.
• •kunna visa förmåga att använda teoretiska verktyg från områden som Hilbertrum, speciella funktioner, distributionsteori, Fourier- och Laplacetransformationer samt Greenfunktioner vid lösning av de tre grundtyperna av partiella differentialekvationerna i enkla geometrier.
• •i samband med problemlösning kunna visa förmåga att integrera kunskaper från de olika delarna i kursen.
• •med adekvat terminologi, väl strukturerat och logiskt sammanhängande kunna redogöra för lösningen till matematiska problem inom kursens ram.

Kursinnehåll

Fysikaliska modeller. Fouriers metod, serieutvecklingar och integraltransformer. Greenfunktioner. Vågutbredning. Funktionsrum och funktionsnormer. Hilbertrum. Sturm-Liouvilleoperatorer och deras egenvärden och egenfunktioner, speciellt Laplaceoperatorn. Speciella funktioner, tex Bessel, Legendre, klotytefunktioner. Distributioner. Fouriertransform, Laplacetransform. Något om numerisk lösning av partiella differentialekvationer.

Kurslitteratur

• Sparr, G. & Sparr, A.: Kontinuerliga system. 2000. ISBN 9789144013558.
• Sparr, G. & Sparr, A.: Kontinuerliga system: Övningsbok. 2000. ISBN 9789144012346.

Kursens undervisningsformer

Undervisningsformer: Föreläsningar, laborationer, övningar

Kursens examination

Examinationsformer: Skriftlig tentamen, övrigt. Datorlaborationer. Via ett frivilligt skriftligt prov efter den första halvan av kursen ges studenterna möjlighet att få bonus att räkna med vid den slutliga tentamen. Eventuell bonus från det frivilliga skriftliga provet mitt i kursen är giltig högst ett år. Därefter kan man delta i följande års frivilliga prov för att försöka få ny bonus.
Betygsskala: Underkänd, godkänd
Examinator:

Antagningsuppgifter

Kurstillfällesinformation

Kontaktinformation och övrigt

Kursansvariga: